1	Probabilité conditionnelle et indépendance Exemple introductif Définition Formule des probabilités totales Formule de Bayes Indépendance
2	Exemple introductif Expérience : lancé d’un dé rouge et d’un dé bleu. On regarde la somme des deux dés W={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} P(S=2)=P(S=12)=1/36 , P(S=3)=P(S=11)=2/36=1/18, P(S=4)=P(S=10)=3/36=1/12 P(S=5)=P(S=9)=4/36=1/9 P(S=6)=P(S=8)=5/36 P(S=7)=6/36=1/6
3	Exemple introductif (suite) J’ajoute une information : le dé rouge affiche un 3. Quelle est maintenant la probabilité pour que la somme des deux dés soit 2? La probabilité pour que la somme soit 7? La probabilité pour que la somme soit 9?
4	Exemple introductif (suite et fin) La probabilité pour que la somme vaille 2 est de 1/36, elle diminue et devient 0 si on sait que le dé rouge porte un 3 La probabilité pour que la somme vaille 7 est de 1/6, elle reste de 1/6 si on sait que le dé rouge porte un 3 La probabilité pour que la somme vaille 9 est de 1/9, elle augmente et devient 1/6 si on sait que le dé rouge porte un 3
5	Définition Soient E et F deux événement, F ayant une probabilité non nulle. On appelle probabilité de E sachant F, et l’on note P(E\|F) la quantité P(EÇF)/P(F) On ne regarde que les cas où l’événement F est réalisé, et parmi ceux-ci on comptabilise ceux où E et F à la fois sont réalisés.
6	Montrer que P(.\|F) est une probabilité
7	Exercice 2.1 On jette deux dés, quelle est la probabilité pour que l’un au moins d’entre eux soit un six sachant que les deux dés sont différents
8	Exercice 2.2 Montrez que Si B est inclus dans A, alors P(A\|B)=1 Si A est inclus dans B, alors P(A\|B)=P(A)/P(B) Si A et B sont disjoints alors P(A\|B)=0
9	Exercice 2.3 Une urne contient 8 boules jaunes, 10 boules blanches et 5 boules rouges. On tire une boule au hasard, quelle est la probabilité pour qu’elle soit rouge sachant qu’elle n’est pas jaune.
10	Exercice 2.4 Pierre provient d’une famille de deux enfants, quelle est la probabilité pour qu ’il ait une sœur? Pierre est l’ainé d’une famille de deux enfants, quelle est la probabilité pour qu ’il ait une sœur?
11	Probabilité de l’intersection De la définition des probabilités conditionnelles, il vient : P(A Ç B) =P(A\|B)P(B)=P(A)P(B\|A) On peut généraliser cette formule à une intersection d ’un nombre quelconque d’événements
12	Preuve
13	Exercice 2.5 On divise un jeu de 52 cartes en 4 piles de 13 cartes. On cherche la probabilité pour que chaque pile contienne un as.
14	Formule des probabilités totales Soient E et F deux événements. Notons l’événement complémentaire de F. Théorème :P(E)=P(E\|F)P(F)+P(E\| )P( )
15	Preuve du théorème des probabilités totales
16	Généralisation Soient F_iune famille d’événements formant une partition de W. Théorème :P(E)=
17	Exercice 2.6 Dans un chapeau, trois cartes : l’une à deux faces rouges, une autre deux faces noires et la dernière a une face rouge et une face noire. On tire une carte au hasard, sa face visible est rouge, quelle est la probabilité pour que l’autre face soit noire ?
18	Exercice 2.7 On lance un dé, puis une pièce est lancé le nombre de fois indiqué par le dé. Trouvez la probabilité pour que toutes les pièces tombent sur pile Sachant que toutes les pièces sont des piles, trouver la probabilité pour que le résultat du dé ait été 1,2,3,4,5 et 6.
19	Formule de Bayes P(A\|B)=P(B\|A).P(A)/P(B) Preuve:
20	Exercice 2.8 Lors d’un QCM, un étudiant à le choix entre m réponses. Il connaît la réponse avec probabilité p, et dans ce cas choisit la bonne case, sinon il choisit aléatoirement une des m cases. Quelle est la probabilité pour que l’étudiant connaisse la réponse, sachant qu’il a choisit la bonne case.
21	Événements indépendants Intuitivement, deux événements A et B sont indépendants si et seulement si le fait de savoir que l’événement B est réalisé ne donne aucune information sur l’événement A, c’est à dire P(A\|B)=P(A)
22	Événements indépendants Définition : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : P(A Ç B)=P(A)P(B)
23	Propriétés équivalentes Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : P(A \| B)=P(A) Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : P(B \| A)=P(B)
24	Exercice 2.9 On suppose que A et B sont des événements indépendants dans une expérience. Montrez que chacune des paires d ’événements suivantes est indépendante: A^c, B A, B^c A^c, B^c
25	Généralisation à n événements Les événements E₁,E₂,…E_n forment une famille d ’événements indépendants si et seulement si pour tout sous ensemble de la famille
26	Exercice 2.10 Donner un exemple de trois événements deux à deux indépendants, mais pas trois à trois indépendants.
27	Exercice 2.11 Un groupe d’élèves de l’ESSI contient 4 garçons et 6 filles de première année. Il contient 6 garçons de seconde année. Combien doit il comporter de filles pour que le sexe et l’année soient des facteurs indépendants dans le choix d’un élève au hasard dans ce groupe.
28	Exercice 2.12 Un laboratoire d’analyse médicale assure avec une fiabilité de 95% la détection d’une maladie lorsqu’elle est effectivement présente. Le test indique aussi un résultat faussement positif pour 1% des personnes non atteintes. En fait, 0,5% de la population est atteinte. Quelle est la probabilité pour qu’une personne soit effectivement malade lorsque le résultat du test est positif.
29	Exercice 2.13 Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On effectue k tirages,k <r ,et on adopte la règle suivante: si on tire une boule blanche, on la remet, si on tire une boule rouge, on la remplace par c boules blanches. Quelle est la probabilité de tirer k boules rouges?
30	Exercice 2.14 Transmission de messages. Considérons la transmission d’un message “Oui” ou “Non” dans une population. Chaque personne transmet le message qu’elle a reçu avec la probabilité p et le message contraire avec la probabilité q=1-p. Soit Xn le message reçu par le nième individu In . On suppose que X1 était le message “Oui”. Calculer la probabilité que Xn soit le message “Oui”.