Université de Nice-Sophia Antipolis Polytech’ Nice Sophia

2005–2006

Contrôle de Mathématiques Discrètes du 27 Septembre 2005

Nom : Prénom : Groupe:

Durée : 60 minutes

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Toutes vos réponses doivent être justifiées par une démonstration ou un contre-exemple. Aucun document autorisé

1 Récurrence simple

Montrer que

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i^{2}} < 2

(Indication : montrer la propriété en remplaçant 2 par 2 − 1/n dans le terme de droite.)

2 Plus petit élément

Démontrer que toute partie finie non vide d’un ensemble totalement ordonné contient un plus petit élément.

3 Division

On considère sur IN, la relation divise notée | définie par a|b si il existe un entier k tel que b = ka . Montrer que | est une relation d’ordre. Est-ce un ordre total ? Donner s’ils existent le plus petit et le plus grand élément de IN pour |.

4 Ordre ?

Donner la définition d’une relation d’ordre et donner un exemple de relation d’ordre (différent de ceux vus en cours/TD).

5 Ordre strict?

Sur l’ensemble des cyclistes professionnels, on considère la relation est meilleur que définie par x est meilleur que y si x est arrivé devant y à toutes les courses de l’UCI pro-tour où l’un et l’autre ont couru, autrement dit dès que x et y courent ensemble x arrive devant y. Il n’y a aucun ex eaquo dans le système de classement UCI. Est-ce une relation d’ordre strict ? Même question si l’on suppose en outre que tous les coureurs participent à toutes les courses.

6 Ordre d’ainesse

On considère E l’ensemble des SI1 et des MAM1.Soient a et b deux éléments de E, on dit que aRb si et seulement si a n’est pas né plus tard que b. La relation R est elle un ordre ? Pour chacune des propriétés d’une relation d’ordre dire si R vérifie la propriété. Si R est une relation d’ordre est ce un ordre total ou partiel ?

7 Calculateur prodige (d’après un problème du journal Le Monde

Un magicien demande à un spectateur de choisir 2 nombres, et de les écrire sur une feuille l’un en dessous de l’autre, puis d’en faire la somme et de l’écrire en dessous du dernier nombre écrit, puis de faire la somme du nombre obtenu et du nombre précédent et de l’écrire en dessous du dernier nombre écrit, puis de recommencer autant de fois qu’il veut. Le magicien lui demande ensuite le deuxième nombre choisi ainsi que les 2 derniers nombres qu’il a écrit, et après invocation d’une formule magique (!), lui donne la somme de tous les nombres que le spectateur a écrit. Quelle est la formule magique du magicien ?

En notant f_{n} le n^{ieme} nombre écrit par le spectateur, on a pour entier n, la relation f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n} (suites dites de Fibonacci). Il s’agit donc de trouver un formule pour calculer la somme des termes d’une suite de Fibonacci, S_{n} = ∑_{i=1}^{n} f_{i}. En sommant les égalités f_{i+2} = f_{i+1} +f_{i}, pour tous les i variant de 1 à n, on trouve après simplications que f_{n+2} = f_{1} + S_{n}, soit S_{n} = f_{n+2} − f_{1}. Cette égalité peut être trouvée ou devinée par tout autre moyen (par exemple, en regardant ce qui se passe pour quelques termes), puis démontrée facilement par récurrence.

Si on revient au magicien, il cherche à calculer S_{n}, pour cela il demande f_{n} et f_{n−1} qui lui permettent de calculer f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n} = 2f_{n} + f_{n−1}, auquel il soustrait le deuxième nombre écrit f_{2} (et non le premier comme indiqué par erreur dans l’énoncé original).