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\newcommand{\f}{\ensuremath{\uparrow}}


\begin{document}

\entete{\'{E}cole Sup\'{e}rieure en Sciences
Informatiques}
{ }{04}{05}{Math\'{e}matiques  Discr\`{e}tes\\ du 29 Septembre 2004}{Dur\'{e}e : 25  minutes}% \
%{Probabilit\'{e}s}{02}{03}{du 1er Avril  2003 }
\\
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\reversemarginpar{ 

\begin{tabular}{l|l}
1 &  \ \  \\\hline
2 &   \\\hline
3 &   \\\hline
4 &   \\

\end{tabular}
}
\\

Toutes vos r\'{e}ponses doivent \^{e}tre justifi\'{e}es par une d\'{e}monstration ou un contre-exemple.

\section {R\'{e}currence simple}
Soit $k$ un entier naturel quelconque, montrer par r\'{e}currence, que $(k+1)^{n}-1$ est un multiple de $k$, pour tout $n$, entier naturel.

\begin{copie}
  \lignes{15}
\end{copie}


\section {Ordre?}
La relation d'\'{e}galit\'{e} est elle une relation d'ordre?

\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}

\section{D\'{e}sordre?}
Soit (E,$ \leq $) un ensemble ordonn\'{e}. Soit $R$ la relation sur $\mathcal{P}(E)\setminus \{\varnothing \}$ d\'{e}finie par :
$A R B \Leftrightarrow \forall a \in A, \forall b \in B, a\leq b$.
La relation $R$ est-elle une relation d'ordre?  Si oui, est ce un ordre total ou partiel ? 

\begin{copie}   
  \lignes{17}
\end{copie}

\section {Des ordres?}
Soit $E=\{a,b,c,d\}$. On consid\`{e}re les relations binaires sur E, $R_1$,$R_2$ et $R_3$ d\'{e}finies par $x R_i y \Leftrightarrow (x,y) \in \mathcal{R}_i $ avec
$\mathcal{R}_1=\{(a,b),(a,c),(a,d)\}$, $\mathcal{R}_2=\{(a,b),(b,c),(d,d)\}$,et $\mathcal{R}_3=\{(a,b),(b,c),(b,d),(d,a)\}$.

\begin{itemize}
\item
$R_1$, $R_2$ et $R_3$ sont-elles des relations d'ordre ? 
\item Est-il possible de compl\'{e}ter $\mathcal{R}_1$, $\mathcal{R}_2$ et $\mathcal{R}_3$ pour que $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ deviennent des relations d'ordre? Si c'est possible, d\'{e}terminer $\mathcal{R}'_i$ le plus petit ensemble contenant $\mathcal{R}_i$, et tel que $R'_i$ soit un ordre.
\end{itemize}



\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}



\end{document}