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\newcommand{\f}{\ensuremath{\uparrow}}


\begin{document}

\entete{\'{E}cole Sup\'{e}rieure en Sciences
Informatiques}
{ }{04}{05}{Math\'{e}matiques  Discr\`{e}tes\\ du 6 octobre 2004}{Dur\'{e}e : 25  minutes}% \
%{Probabilit\'{e}s}{02}{03}{du 1er Avril  2003 }
\\
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\reversemarginpar{ 

\begin{tabular}{l|l}
1 &  \ \  \\\hline
2 &   \\\hline
3 &   \\\hline
4 &   \\

\end{tabular}
}
\\



\section {}
On dit que {\it le pays  $a$ est supérieur au pays  $b$} si
 $a=b$ ou si $a$ a obtenu strictement plus de médailles que $b$ aux Jeux Olympiques d'Athènes en 2004.
Justifier que cette relation est un ordre partiel.

Que dire de deux pays non comparables?


\begin{copie}
  \lignes{14}
\end{copie}


\section {}

La relation d'\'{e}galit\'{e} est elle une relation d'ordre bien fond\'{e} ?

\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}

\section {}

Une relation d'ordre est telle que toute partie de $n$ \'{e}l\'{e}ments contient $n$ \'{e}l\'{e}ments maximaux.
Donner un exemple d'une telle relation.

Est-ce qu'il y en a d'autres?
 
\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}


\section{}
Soit (E,$ \leq $) un ensemble ordonn\'{e} (l'ordre  $ \leq $ est de plus total). 
Soit $R$ la relation sur $\mathcal{P}(E)\setminus \{\varnothing \}$ d\'{e}finie par :
$A R B \Leftrightarrow \forall a \in A, \exists b \in B, a \leq b$.
La relation $R$ est-elle une relation d'ordre? 


\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}

\section{}
Une relation d'ordre est telle que pour tout \'{e}l\'{e}ment $x$, il y a un nombre fini d'\'{e}l\'{e}ments inf\'{e}rieurs à $x$.
Cette relation est-elle un ordre bien fond\'{e}?

\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}

\section{}
Sur l'ensemble des disques du plan, on d\'{e}finie une relation $\leq$ par $d \leq d'$ si le disque $d$ est inclus dans le disque $d'$.
Est-ce une relation d'ordre bien fond\'{e}?
 

\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}


\section {}
Soit $E=\{a,b,c,d\}$. On consid\`{e}re l'ordre strict sur E, $R_1$ d\'{e}fini par $x R_1 y \Leftrightarrow (x,y) \in \mathcal{R}_1 $ avec
$\mathcal{R}_1=\{(a,b),(a,c),(a,d)\}$.
\begin{itemize}
\item
$E$ a-t-il un plus petit \'{e}l\'{e}ment? 
\item
$E$ a-t-il un plus grand \'{e}l\'{e}ment?
\item
Donner un sous-ensemble de $E$ n'ayant ni plus petit, ni plus grand \'{e}l\'{e}ment ?
\item
Repr\'{e}senter par un dessin l'ordre strict sur $R_1$

\end{itemize}



\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}

\section {}
Soit $E=\{a,b,c\}$, on sait que l'inclusion $\subseteq$ est un ordre partiel sur 
l'ensemble des parties de $E$, $P(E)$.
Comment compl\`{e}ter l'inclusion dans ce cas particulier, pour obtenir un ordre total?
 
\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}

\section {}
Donner un exemple de relation d'ordre qui ne soit aucun de ceux abord\'{e}s en cours/TD.
\begin{copie}
  \lignes{27}
\end{copie}


\end{document}