\documentclass[documents]{monexamen}
%\documentclass[documents]{monexamen}
%\setlength{\parindent}{0pt}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{a4wide,amssymb,frenchle}
\usepackage[latin1]{inputenc} %% entr\'ee 8 bits iso-latin1
\usepackage[T1]{fontenc}      %% encodage 8 bits des fontes utilis\'ees

\newcommand{\f}{\ensuremath{\uparrow}}


\begin{document}

\entete{\'{E}cole Sup\'{e}rieure en Sciences
Informatiques}
{ }{04}{05}{Math\'{e}matiques  Discr\`{e}tes\\ du 20 octobre 2004}{Dur\'{e}e : 55  minutes}% \
%{Probabilit\'{e}s}{02}{03}{du 1er Avril  2003 }
\\
\addtolength{\evensidemargin}{-1cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1cm}
\reversemarginpar{ 

\begin{tabular}{l|l}
1 &  \ \  \\\hline
2 &   \\\hline
3 &   \\\hline
4 &   \\\hline
5 &   \\\hline
6 &   \\

\end{tabular}
}
\\



\section {}
Que représente le symbole $\epsilon$ ?
\begin{copie}
  \lignes{3}
\end{copie}


\section {}

On considère l'ensemble $E$ défini de manière inductive par
\begin{itemize}
\item Base : $\epsilon \in E$
\item Règles :
\begin{itemize}
\item Si $ m \in E$ alors $10m \in E$
\item Si $ m \in E$ alors $01m \in E$
\item Si $ m \in E$ alors $m10 \in E$
\item Si $ m \in E$ alors $m01 \in E$
\end{itemize}
\end{itemize}
Soit $M$ le sous-ensemble de $\{0,1\}^*$ formé des mots ayant autant de 0 que de 1.
\begin{enumerate}
\item A-t-on $M$ inclus dans $E$?
\item A-t-on $E$ inclus dans $M$?
\item Montrer que le schéma définissant $E$ n'est pas libre
\item Modifier le schéma pour le rendre libre (sans modifier l'ensemble $E$ obtenu, bien sûr)
\end{enumerate}

\begin{copie}
  \lignes{25}
\end{copie}



\section{}
Donner et prouvez un schéma inductif pour $\{ (m,n)\in N^2 , m \leq n\}$
\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}

\section{}
Donner et prouver un schéma inductif pour l'ensemble des entiers naturels qui sont des multiples de 5.
\begin{copie}
  \lignes{12}
\end{copie}

\section{}
Donner une définition inductive pour l'ensemble des mots binaires ne comportant pas trois zéros consécutifs

\begin{copie}
  \lignes{18}
\end{copie}


\section {}
Donner et prouver un schéma inductif pour l'ensemble des mots binaires comportant autant de 0 que de 1. Votre schéma est-il libre ?


\begin{copie}
  \lignes{17}
\end{copie}




\end{document}